domingo, octubre 14, 2012

Poliedros naturales, sólidos platónicos o sólidos regulares. Una historia sobre ciencia y misticismo. Ruta urbana por Madrid visitando los sólidos platónicos

Los sólidos platónicos

Grupo de Historia de la Filosofía
Academia de Ciencias Luventicus (7 de julio de 2003)


Poliedros regulares

En Geometría, los sólidos de caras planas reciben el nombre de "poliedros". (En griego, polys = "múltiples" y hedra = "cara".) Los poliedros cuyas caras son polígonos regulares [1] iguales se llaman poliedros regulares. Los poliedros regulares son cinco. En el cuadro siguiente se presentan sus nombres y características.

En las fórmulas, a  =  arista.
Nota: De aquí en más, la palabra "regular" se dará por sobre entendida y al hexaedro regular se lo llamará "cubo".


Para mostrar por qué son cinco —y no más— se suele razonar del modo siguiente:
(1) Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)
(2) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.
(3) Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.


Los poliedros regulares y los griegos antiguos

Los pitagóricos —que veían en los resultados matemáticos algo parecido a una verdad religiosa— consideraban muy importante la observación de que había sólo cinco poliedros regulares posibles. Muchos creen que fueron ellos quienes la hicieron por primera vez y por eso llaman "sólidos pitagóricos" a los poliedros regulares. (Lo más probable es que la demostración de esta afirmación se deba a los miembros de esa escuela.) Sin embargo, los arqueólogos han hallado imágenes en piedra de los poliedros regulares considerablemente más antiguas.

tierra, fuego, Universo, agua y aire.
Imágenes recogidas en un yacimiento neolítico de Escocia
Por otra parte, en excavaciones realizadas cerca de Pádova (Italia), se halló un dodecaedro etrusco que probablemente era usado como juguete.

Dodecaedro etrusco (¿500 a.C.?)
Se cree que fue Empédocles quien priemero asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro con la tierra, el fuego, el agua y el aire, respectivamente. Estas sustancias eran los cuatro "elementos" de los griegos antiguos. [2] Luego Platón asoció el dodecaedro con el Universo pensando que, dado que era tan distinto de los restantes (¿por sus caras pentagonales?) debía tener relación con la sustancia de la cual estaban hechos los planetas y las estrellas. (Por entonces se creía que los cuerpos celestes debían estar hechos de un elemento distinto del que estaban hechas las cosas que rodean al hombre en la Tierra.) De aquí que a los poliedros regulares se los conozca también como sólidos platónicos.

Los poliedros regulares y Johannes Kepler

En el siglo XVI, los poliedros regulares inspiraron al joven Kepler una teoría sobre el movimiento de los planetas. Él creía que los radios de las órbitas (circulares) de los planetas estaban en proporción con los radios de las esferas inscriptas en sólidos platónicos dispuestos uno dentro de otro. El grabado de la derecha ha sido tomado de su tratado Mysterium Cosmographicum (“El Misterio del Cosmos”). (Kepler concluyó que ese modelo era erróneo y que los planetas se movían describiendo trayectorias elípticas recién cuando conoció los resultados de las observaciones de Tycho Brahe.)

En el cuadro siguiente aparecen reproduccciones de otros grabados de la misma obra de Kepler en donde se observa cómo sobrevivía en esta época tan tardía la asociación entre elementos y poliedros establecida por Empédocles y Platón.



El descubrimiento de Kepler de las leyes del movimiento de los planetas es uno de los primeros resultados de la aplicación del método científico tal como lo entendemos hoy.

Poliedros inscriptos: un applet de Gian Marco Todesco

El arte de colocar un poliedro dentro de otro para obtener sucesiones de números (los radios de las esferas inscriptas) —siguiendo el procedimiento del joven Kepler para descubrir la supuesta ley que determina el radio de las órbitas de los planetas— ha sido ilustrado por Gian Marco Todesco (Digital Video s.r.l., Roma, Italia) en el bello applet que se presenta a continuación.

http://www.toonz.com/personal/todesco/java/polyhedra/theApplet.html

Con esta herramienta se puede hacer el ejercicio de calcular la arista de un poliedro inscripto en otro siguiendo un orden establecido o proponer una serie de poliedros inscriptos para calcular luego la sucesión de números correspondientes a los volúmenes, superficies, etc., haciendo uso de las fórmulas presentadas más arriba.
En cambio, el procedimiento del joven Kepler consistiría en lo siguiente:
(1) proponer un poliedro exterior y dar una medida a su arista;
(2) calcular el radio de la esfera inscripta;
(3) proponer un poliedro interior, explicitar la arista en la fórmula de la esfera circunscripta y calcularla;
(4) repetir los pasos (2) y (3) tantas veces como se desee; y
(5) confeccionar una lista de los radios obtenidos.


Los poliedros regulares y Maurits Cornelis Escher

Los sólidos platónicos, por su historia, perfección, y belleza, continúan siendo hoy inspiradores de matemáticos y artistas. El holandés Maurits Cornelis Escher es uno de los artistas clásicos de nuestro tiempo que han experimentado la fascinación por estas figuras. A continuación se reproduce su grabado Estrellas (1948) y una fotografía que lo muestra observando una de sus obras: un conjunto de sólidos platónicos superpuestos.

Estrellas, 1948
©2002 Cordon Art B.V, Baarn, Nederland.
Los derechos de autor de todos los trabajos de M.C. Escher
pertenecen a Cordon Art (Holanda). Reproducido con permiso.
Visite el sitio de Cordon Art en la Red: www.mcescher.com.
Escher y su representación de
los sólidos platónicos


 Se dice que cierta vez, cuando tuvo que mudarse de oficina, Escher dejó muchas de sus pertenencias, excepto ésta.

[1] Figuras planas de lados y ángulos iguales.
[2] En una serie de la Galería de Arte se dan otros argumentos para la asociación de los poliedros regulares con los "elementos".

Notas del Editor.

• El punto central de este artículo es la idea de Johannes Kepler de inscribir superficies poliédricas. Las fórmulas dadas al principio, el orden en que han sido dispuestos los poliedros en las figuras, el applet de G. M. Todesco, y las referencias a Escher elegidas, son prueba de ello.

• El grabado Estrellas de M. C. Escher fue realizado en 1948 y concebido probablemente en los años finales de la Segunda Guerra Europea. Se trata de un trabajo de gran belleza —como todos los de este artista extraordinario— que muestra en el fondo un cielo de figuras regulares (sólidos perfectos, platónicos) y en primer plano un cuerpo celeste (¿planeta Tierra?) donde unos demonios de aspecto primitivo (¿hombres cercanos a sus ancestros reptilianos?) están encerrados en (¿contenidos por?) una estructura formada por octaedros combinados de tal manera que la Estrella de David aparece repetida varias veces. Es una lástima que el uso de esos símbolos dé lugar a una interpretación que le resta universalidad a la obra.


El Hombre de Vitruvio. Leonardo Da Vinci
Numerología – Proporción Áurea – Sólidos Platónicos

Retomamos el anterior post donde hablábamos de los armónicos, para adentrarnos en los números y la relación de ambos con el modelo de la creación universal, fuente de la filosofía pitagórica.
Sin duda, entre los lectores habrá quiénes conozcan todo lo relacionado con los pitagóricos y su legado, pero consideramos que estas breves nociones son necesarias para poder entender la Convergencia Armónica, objeto también de estudio de la filosofía, la espiritualidad y la física cuántica actual; lo que nos conduce a la Metafísica: rama de la filosofía que se encarga de estudiar la naturaleza, estructura, componentes y principios fundamentales de la realidad (nota personal: lo que la ciencia actual no sabe explicar y/o no quiere aceptar).

    “Las matemáticas sólo son una forma de expresar las leyes que gobiernan los fenómenos”

    Albert Einstein

Escultura de Pitágoras
Numerología

Por definición, es el “conjunto de creencias o tradiciones que establece una relación mística entre los números, los seres vivos y las fuerzas físicas o espirituales“.

    “Los números son la sustancia básica del cosmos. Las notas de la escala musical, los colores del arco iris, el movimiento de las estrellas, el crecimiento de las plantas, del cuerpo y la mente humanos…, la naturaleza entera podría ser descrita mediante la interacción de un número con otro”.

    Gloria Garrido Ramos – Numerología, Edic. 2007

Para Pitágoras (s. VI a. C.) los números no sólo eran una creencia, sino que adquirían una importancia vital, pues a través de ellos es posible expresar la armonía que rige la concepción del universo y los ciclos o ritmos cósmicos. Armonia = Cosmos = Orden; Desorden=Caos.

Pitágoras asumía que toda expresión de vida y de la realidad podía interpretarse a partir de los números, los cuales adoptaban un aspecto místico y divino. Usando los dígitos del 1 al 9, a los que pueden reducirse todos los demás, podían expresar tanto el macrocosmos, como el microcosmos; es decir, interpretar el universo, así como la actividad humana a través de los números, en los cuales subyace la base del conocimiento de nuestra existencia.

Los orígenes de la numerología se remontan a tiempos inmemoriales, en época de los sumerios, babilonios, hebreos, caldeos, egipcios, brahamanes y chinos, los cuales usaban los números debido a su cualidad vibratoria tanto para la adivinación como para la protección divina.

Misticismo

La numerología adquiere especial relevancia en lo referente a las ciencias sagradas, conocidas también como ciencias esotéricas -cábala, alquimia, magia, astrología, etc.-, al ser los números el medio por el cual se transmitía el conocimiento oculto de la creación.

Las palabras, las letras, los nombres, incluso situaciones, pueden expresarse a través de los números. Asignando a las letras del alfabeto un valor numérico a través de una sencilla tabla es posible reducir a un sólo dígito los nombres y apellidos de las personas, al igual que la fecha de nacimiento. De este modo es posible, de un modo predictivo, determinar la personalidad del individuo así como los acontecimientos que puedan tener lugar en su vida.

Esto es debido a que cada número está sociado a una vibración determinada, la cual influye en el individuo tanto en el momento actual como en el de su nacimiento, además de su nombre y apellidos.
El Tetractys

Tetraktys

El tetractys era una figura que los pitagóricos tenían por sagrada. A través de ella se podía representar que el 10 era la suma de los cuatro primeros números: 1+2+3+4 = 10. Número perfecto, clave de su doctrina, y símbolo de la creación universal.

Para los pitagóricos, la primera fila o el uno, representa la causa primera, lo Divino, origen de todas las cosas. La segunda fila representa la dualidad;  la tercera, la tríada, los tres niveles del mundo: celeste, terrenal e infernal;  y la cuarta, los cuatro elementos: agua, fuego, tierra y aire, que representan la creación.

Proporción Áurea

“Veo un orden en el universo, y las matemáticas son el modo de hacerlo visible”

May Sarton (1912 – 1995)

Al margen de los números naturales y enteros, existen otros dos números irracionales y relacionados con la geometría euclidiana que desde la antigüedad han fascinado a los matemáticos; Olga Garrido se refiere a ellos en su libro Numerología como los ladrillos cósmicos, pilares fundamentales de la Geometría Sagrada y, por lo tanto, de la creación.

El más conocido de ellos es Pi (π), cuyo valor equivale a 3,14159…, y supone la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Pi es utilizado en geometría pero también en el cáculo de probabilidades.

El otro número es Phi (Φ), que aún siendo menos conocido es mucho más fascinante que el anterior. Su valor es un número infinito e irrepetible que equivale a 1,6180339887…, y en el siglo XIX fué bautizado con el nombre de “Número Áureo”, “Proporción Áurea”, “Sección Áurea”, etc. Un libro publicado en Italia en el siglo XVI la denominó como “Proporción Divina”.

Aunque se le atribuye a Euclides (ca. 325 a. C. – ca. 265 a. C.) padre de la geometría; el estudio formal del número áureo, éste ya existía en épocas anteriores a la vida del matemático griego, pudiéndose remontar a los antiguos babilónicos y sumerios. De igual modo sucede con el número Pi.

Euclides definía la proporción áurea de este modo:

    “Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor”

Los pitagóricos mantuvieron en secreto los números irracionales por el hecho de que éstos no podían expresarse como una unidad, sino como relación o proporción entre los segmentos de una recta, lo que los hacía inconmensurables.

He aquí donde radica la atracción que sintieron los matemáticos de todos los tiempos como los griegos Pitágoras o Euclides, o posteriormente el matemático italiano Leonardo de Pisa (1170 – 1250), más conocido como Fibonacci, o el alemán Johannes Keppler, amén de los matemáticos actuales. Pero su atraccivo era tal que no se limitó a los matemáticos,  sino que acabó fascinando a biólogos, pintores, escultores, arquitectos, filósofos y psicólogos de todos los tiempos.

Curiosamente, los pitagóricos utilizaban el pentáculo o estrella pitagórica, como símbolo místico y un modo de reconocerse unos a otros. Sus lados y ángulos son iguales, los cuales tienen como medida la Proporción Áurea.

Pero, ¿por qué tanto revuelo por un simple número, se preguntarán?

Por asombroso que nos parezca, la Proporción Áurea tiene relación en temas tan dispares como el cuadro de Leonardo Da Vinci “La Última Cena”, la distribución de los pétalos de una flor y sus hojas, las conchas de un molusco, la arquitectura del Partenón, el ADN, las Pirámides de Egipto o la distribución y forma de los planetas y de las galaxias, que es a donde queremos llegar, y por ello era imprescindible hablar del Número Dorado y entender, como así lo hicieron los Pitagóricos, su relación con el todo
.

Dicho de otro modo, la presencia de la Proporción Áurea denota belleza y armonía, por lo que algo que es armónico, es bello por naturaleza.

    “Cuando trabajo con un problema, jamás pienso en la belleza. Sólo pienso cómo resolverlo. Pero cuando he terminado, si la solución no es bella, sé que está mal”.
    Richard Buckminster Fuller (1895-1983)

No obstante, hubo que esperar hasta 1202, año en que Leonardo de Pisa (c. 1170 – 1250), más conocido como Fibonacci, publicase su conocido Liber abaci (Libro del ábaco), para que el mundo supiese de la importancia de la Proporción Áurea por su contribución a su expansión. Fibonacci, tenía unos profundos conocimientos de las matemáticas indoarábicas, de la cual aprendió el uso del ábaco, y de la geometría euclidiana, lo que le sirvió para el desarrollo de su conocida secuencia de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… Es famoso el problema que planteó para la cría de conejos la cual daba como resultado la conocida secuencia, presente además en una gran cantidad de fenómenos sin relación entre sí.

Veamos el siguiente video de la Proporción Áurea, creado por Cristóbal Vila, a quién honramos desde aquí por este magnífico trabajo, donde se muestra gráficamente el concepto del Número Dorado y será mucho más fácil comprenderlo.



En este otro vídeo vemos cómo Leonardo Da Vinci interpretó, en su famoso dibujo de “El Hombre de Vitruvio”, las medidas del cuerpo humano en proporción áurea encontradas por un arquitecto llamado Vitruvio.



Los Sólidos Platónicos

Los sólidos platónicos o sólidos regulares, como también se les conoce, son poliedros convexos de caras y ángulos iguales, y cuyos vértices unen el mismo número de caras. Aunque el primer conocimiento que se tiene de ellos procede de un yacimiento neolítico en Escocia alrededor del año 2000 a. C., es muy probable que su procedencia se remonte a la época de los babilonios y sumerios, pues Pitágoras vivió unos 22 años aprox. en Egipto, donde probablemente aprendió matemáticas de los sacerdotes egipcios, además de filosofía y religión. Tras la invasión de Egipto por el ejército persa, es problable que Pitágoras fuese llevado a Babilonia, donde entró en contacto con matemáticos de la antigua mesopotamia. De hecho, unas tablillas encontradas en 1936 en Susa (Irán) demuestran que los Babilonios ya conocían la fórmula del área del pentágono.

Así pues, una vez más fueron los griegos, y concretamente lo pitagóricos, los que estudiaron estos cinco sólidos a nivel matemático a los que inicialmente llamaron sólidos pitagóricos, a la vez que los asociaron místicamente con los cuatro elementos: agua, tierra, fuego y aire. El quinto elemento, el dodecaedro, fue asociado con el cosmos.

El profesor Carlos Quesada, de la UAM (Universidad Autónoma de Madrid) se refiere a ellos en su publicación del 20/12/2006:

    “Se cree que fue Empédocles (480 – 430 a.C.) quien por primera vez asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, el agua y el aire respectivamente. Platón (447 – 347 a.C.) relacionó posteriormente el dodecaedro con la sustancia de la que estaban compuestas las estrellas, ya que por aquellos tiempos se pensaba que ésta habría de ser diferente a cualquiera de las de la Tierra. En su diálogo Timeo, Platón pone en boca de Timeo de Locri estas palabras: “El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”.

Fue a partir de ese momento en que los sólidos pitagóridos se denominaron sólidos platónicos. Más tarde, hacia el año 300 a C. será Euclides quien recoja este conocimiento en su libro Elementos.

La aportación de Pitágoras y sus discípulos es por tanto fundamental para entender el estudio de la geometría, y no olvidemos que fue él quién desarrolló el famoso teorema de Pitágoras: c² = a² + b², aplicable a todos los triángulos de ángulo recto.

En el siguiente documental, presentado por Carl Sagan, se nos explica la importancia de los sólidos platónicos para los pitagóricos y  el hallazgo del número irracional.



La importancia de los sólidos platónicos y su relación con la cosmogonía pitagórica era evidente, pues como dijimos anteriormente, los números eran la esencia de todas las cosas y a través de ellos se podía representar la creación. Tal es así, que el astrónomo alemán Johannes Kepler quiso demostrar que las distancias de los planetas al Sol podían obtenerse utilizando un modelo a gran escala compuesto por esferas en el interior de poliedros perfectos, como ya citamos anteriormente en “El patrón sagrado”.

En cualuquier caso, hemos llegado al punto que queríamos con esta introducción a la geometría, pues es el pilar fundamental de la Geometría Sagrada, materia de estudio de nuestro próximo artículo.


Ruta madrileña de los sólidos platónicos

El soterramiento de las vías férreas entre la Plaza del Capitán Cortes y el Paseo Imperial de la ciudad de Madrid dio lugar a una actuación urbanística residencial de cierta importancia. La nueva calle creada es el Paseo del Doctor Vallejo Nájera, paseo que cruza el de Las Acacias y la calle Toledo.

La actuación se ha singularizado con cinco grupos escultórico-geométricos: los cincos poliedros regulares convexos. En cada grupo se instala una plataforma cuadrada con la versión sólida de cuatro poliedros a pequeña escala en las esquinas, y el restante en versión vacío en el centro y de mayor tamaño.

Como el recorrido tiene carril de bicicleta y es agradable para caminar, bien merece ser recorrido para rememorar esos tiempos en que los físicos griegos asociaban a cada elemento un poliedro, o cuando Kepler intentaba encajar las órbitas planetarias mediante el proceso matemático de inscribir un sólido en otro. El esfuerzo de cálculo no fue inútil, Kepler –por fidelidad a las mediciones- abandonó el modelo platónico, pero sus entrenamiento le permitió elaborar las tres leyes que Newton sintetizó en la gravitación.

Fuente: Mateturismo

Las Matemáticas están en cada rincón que recorremos, en las ciudades, en el campo, en nuestras casas...
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Aquí podrás ver algunos ejemplos de lo que te puedes encontrar si abres los ojos, miras, y ves...

Poliedros Regulares

La ciudad de Madrid homenajea a los cinco poliedros regulares.

El tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro decoran las calles de la ciudad gracias a Manuel Ayllón, Luis Mulas y Luis Racionero, que son los autores de estas figuras.

Si te apetece dar un paseo, te invito a hacer esta "ruta de los poliedros", que comienza en la Glorieta de Sta. Mª de la Cabeza, sigue por el Paseo Vallejo Nájera, llega hasta la Glorieta de Pirámides, continúa por el Paseo de los Pontones y termina en el Paseo de los Melancólicos.

Los sólidos Platónicos adquieren protagonismo entre los coches, semáforos y el ruido de la gran ciudad.

Octaedro en la Glorieta de Santa María de la Cabeza
Icosaedro en el Paseo Vallejo Nájera
Tetraedro en la Glorieta de Pirámides
Hexaedro/cubo en el Paseo de los Pontones
Dodecaedro por el Paseo de los Melancólicos
 Fuente: Contando Matemáticas

La ruta la podéis ver en google maps en la siguiente dirección:
http://goo.gl/maps/lO1Pd

Que lo disfrutéis!

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